Los Números Mágicos.

Ahora que estamos en plena época de exámenes finales, os voy a proponer un juego… hace unos días vi en televisión como hallaban una constante matemática muy curiosa y fácil de hacer. La operación es la siguiente:

Vamos a hallar la conocida como “constante de Kaprekar”, recibe este nombre en honor a su descubridor el matemático indio D. R. Kaprekar consiste. Simplemente consiste en reordenar los dígitos de un número de 4 cifras de modo que se obtenga el mayor y el menor número posible, restando entonces el menor del mayor.

Esta operación se puede aplicar a números de cualquier tamaño, y se puede repetir una y otra vez. Resulta interesante lo que sucede, os pongo un ejemplo con un número al azar 8543:

8543-3458=5085
8550-558=7992
9972-2799=7173
7731-1377=6354
6543-3456=3087
8730-378=8352
8532-2358=6174
7641-1467=6174

Si intentáis continuar siempre os quedaréis en el número 6174. Esto ocurre con cualquier número de 4 cifras en un máximo de 7 pasos.

Excepciones:

  

Los únicos números de cuatro dígitos para los que esta función no funciona son aquellos en los que todos los dígitos se repiten, como, por ejemplo, el 1111, debido que su sustracción resulta en el número cero ya después de una primera resta.

Cuando se trata de números de cuatro dígitos con tres números repetidos, como por ejemplo, el 1112, realizando la operación se obtiene el número 999, pero lo podemos conseguir si se añadieran ceros a la derecha al minuendo y a la izquierda al sustraendo para completar los cuatro dígitos, resultando ser lo sugiuiente:

2111 – 1112 = 0999
9990 – 0999 = 8991
9981 – 1899 = 8082
8820 – 0288 = 8532
8532 – 2358 = 6174

¿Es el 6174 el único número con esta propiedad?

No, pero examinar qué sucede con otros números de distinta longitud arroja más misterio al asunto.

•    Si se prueba con los números de dos dígitos no se llega nunca a un número fijo, sino a un bucle cíclico del tipo 09, 81, 63, 27, 45, 09

•    Con tres dígitos se llega a 495

•    Para cuatro dígitos el número es el misterioso 6174

•    Para cinco dígitos, no hay número fijo, sino tres ciclos (además de distinta longitud)

•    Para seis dígitos, se puede llegar al 549945, al 631764 o a un ciclo de siete números

•    Para siete dígitos tampoco hay número fijo, sino un único ciclo de nueve números. Para ocho y nueve hay otro par de números en cada caso.

•    Con diez dígitos se puede llegar a tres valores distintos: 6333176664, 9753086421 y 9975084201, o entrar en cinco ciclos cortos

Hasta el momento, ningún matemático tiene claro por qué sucede todo esto y por qué con tres y cuatro dígitos se llega a un único número, mientras que con otros no se llega a ninguno sino a ciclos, o por qué a veces se llega a varios números posibles y también a ciclos. 

¿Será todo esto una mera coincidencia?

Fuentes: La Magia de los Números, la constante de Kaprekar y Wikipedia y agradecimientos a mi señora madre, gran fuente de inspiración y poseedora de una cultura envidiable.

Manuel Navarro González de la Higuera.